sin(arctan x)에서 왜 ±가 아니라 x/√(1+x²)로 정리될까
sin(arctan x)를 정리하다 보면 분명 제곱근이 나오는데도 왜 ±가 붙지 않는지 헷갈리기 쉽습니다. 특히 x가 음수일 때도 식이 그대로 성립하는 이유는 한 번 분리해서 보면 훨씬 이해가 잘 됩니다. 핵심은 제곱근 자체가 부호를 정하는 값이 아니라, arctan의 주값 범위와 tan의 부호가 각도 y의 위치를 정해 준다는 점입니다.
먼저 y = arctan x라고 두면 tan y = x가 됩니다. 여기서 y는 보통 -π/2보다 크고 π/2보다 작은 범위에서 잡히므로, y가 어느 사분면에 있는지에 따라 sin y와 cos y의 부호가 함께 정해집니다. 이 성질을 따라가면 sin(arctan x)가 왜 한 가지 식으로 고정되는지 자연스럽게 보입니다.
1. arctan의 주값 범위가 먼저 부호를 정합니다
arctan x는 tan y = x를 만족하는 각도 중에서 대표값 하나를 고르는 함수입니다. 이때 y는 보통 -π/2와 π/2 사이에 놓이므로, y가 음수면 아래쪽, 양수면 위쪽에 있는 각도로 이해할 수 있습니다. 그래서 x의 부호가 y의 부호와 연결되고, 결과적으로 sin y의 부호도 함께 따라갑니다.
예를 들어 x > 0이면 tan y > 0이므로 y는 양수 쪽에 있고, 이 범위에서는 sin y도 양수가 됩니다. 반대로 x < 0이면 y는 음수 쪽에 놓이므로 sin y도 음수가 됩니다. 즉, 부호는 √가 정하는 것이 아니라 y가 놓인 위치와 tan y = x 관계가 함께 정합니다.
2. √가 양수로만 쓰이는 이유: 길이와 주값의 의미
직각삼각형으로 생각하면 tan y = x를 만족하는 변의 비를 이용해 빗변을 구하게 됩니다. 이때 한 변의 길이는 음수가 될 수 없으므로, 빗변은 √(1+x²)처럼 양의 값으로 잡습니다. 그래서 cos y를 구할 때도 분모에 들어가는 √(1+x²)는 항상 양수인 주값으로 취급되며, 여기에 ±를 임의로 붙이지 않습니다.
정리하면 보통 다음처럼 생각할 수 있습니다.
| 항목 | 의미 |
|---|---|
| √(1+x²) | 길이이므로 항상 양수 |
| cos y | arctan의 범위 안에서 양수 |
| sin y | x의 부호를 따라 결정 |
이 표처럼 보면, √는 부호를 고르는 장치가 아니라 크기만 정하는 값입니다. 부호는 각도 y의 위치가 정하고, 그 결과 sin과 cos에 반영됩니다.
3. tan y = x에서 sin y와 cos y를 어떻게 결정하나
tan y = x는 sin y / cos y = x라는 뜻이기도 합니다. 여기에 y가 -π/2와 π/2 사이에 있다는 조건을 함께 쓰면, 이 구간에서는 cos y가 0이 아니고 보통 양수로 잡힙니다. 그래서 cos y는 1/√(1+x²)로 정리되고, sin y는 tan y × cos y로부터 구할 수 있습니다.
계산 흐름을 간단히 적으면 다음과 같습니다.
- tan y = x
- 1 + tan²y = 1 + x²
- sec²y = 1 + x²
- cos y = 1/√(1+x²)
- sin y = tan y · cos y = x/√(1+x²)
여기서 중요한 점은 cos y를 ±1/√(1+x²)로 두지 않는 이유입니다. arctan의 주값 범위에서는 cos y가 양수인 쪽으로 정해지기 때문에, 음수 가지를 따로 남겨 둘 필요가 없습니다. 반면 sin y는 x의 부호를 그대로 반영하므로 결과식에 자연스럽게 음수와 양수가 모두 들어갑니다.
4. x<0일 때 실제로 부호가 어떻게 맞는지
x = -1이라고 생각해 보면 y = arctan(-1)은 -π/4가 됩니다. 이 각도는 범위 안에서 음수 쪽에 있으므로 sin y도 음수, cos y도 양수입니다. 실제로 식에 넣어 보면 sin(arctan(-1)) = -1/√2가 되어, x의 부호와 같은 방향으로 결과가 나옵니다.
즉 x가 음수라고 해서 별도의 ±를 붙이는 것이 아니라, x 자체가 분자에 들어가 있기 때문에 부호가 이미 반영됩니다. 분모의 √(1+x²)는 x를 제곱한 값이 들어가므로 항상 양수이고, 그래서 전체 식의 부호는 분자 x가 결정합니다.
5. 한 문장으로 정리하면
sin(arctan x) = x/√(1+x²)는 arctan의 치역이 각도 y의 부호와 사분면을 먼저 정하고, √(1+x²)는 항상 양의 길이로 취급되기 때문에 성립합니다. 따라서 ±를 따로 붙이는 대신, 부호는 x와 arctan의 주값 범위가 함께 결정한다고 이해하면 됩니다. 특히 x<0일 때도 결과가 음수가 되는지는, y가 음수 구간에 놓인다는 점을 생각하면 자연스럽게 확인할 수 있습니다.
비슷한 삼각함수 합성이나 역삼각함수 정리가 헷갈릴 때는, 먼저 주값 범위와 길이의 양수성을 분리해서 보는 것이 도움이 됩니다. 필요하면 이어서 arctan의 범위와 sin, cos 부호를 함께 묶어 정리한 자료를 한 번 더 확인해 보셔도 좋습니다.
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